醫聲論壇

W表牆, /是繩

如圖WWWWWWWWWWW
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將一條48公尺繩一端固定在牆邊
並利用一面牆和繩子在地上圍出一最大四邊形
此四邊形面積??


Ans:２８８　 (１２ｘ２４）　這解法怎麼想的？？

依提供的解答，解這個問題最大的挑戰是: 看出題目寫錯啦!!
→ 應改為: 用一面牆和繩子在地上圍出一最大長方形

這題難處在於如何跟小學生講解，畢竟小學生沒有太多代數與幾何基礎 (若是國中生，本題用算幾不等式即可)。

畫個正方形 ABCD，固定 A 點，將 AB 縮短 d 為 AB'，AD 延長 d 為 AD'，圍成一新長方形 AB'C'D'，比較面積增減，易知 ABCD 面積 > AB'C'D' 面積。

由以上模型可知以下同義的2點:

性質 1: 當兩正數之和固定時，其乘積以兩數相等時為最大。
性質 2: 周長固定的長方形中，以正方形有最大面積。

解法一: (利用"性質 1")

題意--已知: 長 + 寬x2 = 48，求 長x寬 的最大值。

與上文"性質 1"比較，改為-- 已知: 長 + 寬x2 = 48，求 長x(寬x2) 的最大值。

⇒長 = 寬x2 = 24 時，面積有最大值 = 24 x 12 = 288 (平方公尺)


解法二: (利用"性質 2")

將圍成的長方形，以牆為對稱線作對稱圖，則與原圖構成一周長為 96 公尺之長方形。由"性質 2"，當其為正方形(邊長 = 24 公尺)時面積最大，從而原題面積最大值 = 24 x 12 = 288 (平方公尺)


(註: 若題目確為: "...並利用一面牆和繩子在地上圍出一最大四邊形..."，則我想答案應是 192√3 (≒333) 平方公尺)

vancin 寫:依提供的解答，解這個問題最大的挑戰是: 看出題目寫錯啦!!
→ 應改為: 用一面牆和繩子在地上圍出一最大長方形

這題難處在於如何跟小學生講解，畢竟小學生沒有太多代數與幾何基礎 (若是國中生，本題用算幾不等式即可)。

畫個正方形 ABCD，固定 A 點，將 AB 縮短 d 為 AB'，AD 延長 d 為 AD'，圍成一新長方形 AB'C'D'，比較面積增減，易知 ABCD 面積 > AB'C'D' 面積。

由以上模型可知以下同義的2點:

性質 1: 當兩正數之和固定時，其乘積以兩數相等時為最大。
性質 2: 周長固定的長方形中，以正方形有最大面積。

解法一: (利用"性質 1")

題意--已知: 長 + 寬x2 = 48，求 長x寬 的最大值。

與上文"性質 1"比較，改為-- 已知: 長 + 寬x2 = 48，求 長x(寬x2) 的最大值。

⇒長 = 寬x2 = 24 時，面積有最大值 = 24 x 12 = 288 (平方公尺)


解法二: (利用"性質 2")

將圍成的長方形，以牆為對稱線作對稱圖，則與原圖構成一周長為 96 公尺之長方形。由"性質 2"，當其為正方形(邊長 = 24 公尺)時面積最大，從而原題面積最大值 = 24 x 12 = 288 (平方公尺)


(註: 若題目確為: "...並利用一面牆和繩子在地上圍出一最大四邊形..."，則我想答案應是 192√3 (≒333) 平方公尺)

正六邊形一半 厲害